livre :Mécanique générale: cours et exercice corrigés
Sylvie Pommier, Yves Berthaud
| Sylvie Pommier, Yves Berthaud |
Cours et exercices corrigés
TABLE DES MATIÈRES
INTRODUCTION 1
PREMIÈRE PARTIE
CINÉMATIQUE – CINÉTIQUE
CHAPITRE 1 • CINÉMATIQUE ......................... ........ 7
1.1 Référentiels d’espace et de temps ......................... 7
1.2 Cinématique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
CHAPITRE 2 • LE SOLIDE INDÉFORMABLE . . . . 12
2.1 Définition . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Paramétrage de la position relative de deux solides. . . . . . . . . . . . 12
2.3 Cinématique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercices ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
CHAPITRE 3 • CINÉTIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1 Torseur cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . 50
3.2 Calcul des centres de masse. . . . . . . . . . ........ . . . 58
3.3 Calcul des moments d’inertie et de l’opérateur d’inertie . . . . . . . 58
3.4 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un point . . . . . . . . . . 63
3.5 Théorème d’Huyghens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 Théorème d’Huyghens Steiner .. . . . . . . . . . . . . . 65
3.7 Axes principaux d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 66
3.8 Énergie cinétique d’un solide . . . . . . . . . . . . .... 68
3.9 Torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 69
Exercices ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
DEUXIÈME PARTIE
ACTION – LIAISONS – STATIQUE
CHAPITRE 4 • ACTIONS, LIAISONS . . . . . . . . . 83
4.1 Action mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 83
4.2 Liaisons ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Schématisation des systèmes mécaniques. . . . 108
Exercices .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
CHAPITRE 5 • STATIQUE DES SOLIDES . . . . . . 114
5.1 Principe fondamental de la statique . . . . . . . . . 114
5.2 Analyse des mécanismes. . . . . . . . . . . . . . . .... . 118
Exercices ............................;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
INTRODUCTION 1
PREMIÈRE PARTIE
CINÉMATIQUE – CINÉTIQUE
CHAPITRE 1 • CINÉMATIQUE ......................... ........ 7
1.1 Référentiels d’espace et de temps ......................... 7
1.2 Cinématique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
CHAPITRE 2 • LE SOLIDE INDÉFORMABLE . . . . 12
2.1 Définition . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Paramétrage de la position relative de deux solides. . . . . . . . . . . . 12
2.3 Cinématique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercices ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
CHAPITRE 3 • CINÉTIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1 Torseur cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . 50
3.2 Calcul des centres de masse. . . . . . . . . . ........ . . . 58
3.3 Calcul des moments d’inertie et de l’opérateur d’inertie . . . . . . . 58
3.4 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un point . . . . . . . . . . 63
3.5 Théorème d’Huyghens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 Théorème d’Huyghens Steiner .. . . . . . . . . . . . . . 65
3.7 Axes principaux d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 66
3.8 Énergie cinétique d’un solide . . . . . . . . . . . . .... 68
3.9 Torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 69
Exercices ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
DEUXIÈME PARTIE
ACTION – LIAISONS – STATIQUE
CHAPITRE 4 • ACTIONS, LIAISONS . . . . . . . . . 83
4.1 Action mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 83
4.2 Liaisons ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Schématisation des systèmes mécaniques. . . . 108
Exercices .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
CHAPITRE 5 • STATIQUE DES SOLIDES . . . . . . 114
5.1 Principe fondamental de la statique . . . . . . . . . 114
5.2 Analyse des mécanismes. . . . . . . . . . . . . . . .... . 118
Exercices ............................;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
QUATRIÈME PARTIE
PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE, PRINCIPE DES
PUISSANCES VIRTUELLES
CHAPITRE 7 • PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.1 Introduction : un peu d’histoire . . . . . . . . . . . 167
7.2 Énoncé du principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . 168
CHAPITRE 8 • PRINCIPE DES PUISSANCES VIRTUELLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.1 Introduction : un peu d’histoire. . . . . . . . . . 174
8.2 Énoncé du principe des puissances virtuelles . 174
Table des matières
8.3 Choix de torseurs virtuels particuliers et théorèmes de la
dynamique ......................... . . . . . . . . . . . . . 175
Exercices ................................ . . . . . . . . . . . . . 196
Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
CINQUIÈME PARTIE
ÉQUATIONS DU MOUVEMENT
CHAPITRE 9 • LINÉARISATION DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT. . . . . . . . . . . . 216
9.1 Linéarisation des équations de Lagrange . . . 216
9.2 Vibrations autour d’une position d’équilibre stable . . . . . . . . . . . . 230
CHAPITRE 10 • CHOCS ET PERCUSSIONS . . . . 232
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232
10.2 Cas d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10.3 Cas d’un solide ou d’un système de solides . 233
SIXIÈME PARTIE
QUELQUES RAPPELS MATHÉMATIQUES SUR LES TORSEURS
ET LES TENSEURS
CHAPITRE 11 • CALCUL VECTORIEL. . . . . . . . 246
11.1 Opérations sur les vecteurs. . . . . . . . . . . . . 246
11.2 Champs de vecteurs ................ . . . . . . . . . 249
CHAPITRE 12 • DÉRIVATION VECTORIELLE . . 253
12.1 Dérivée d’un vecteur......................... . . . . . . 253
12.2 Changement de base de dérivation. . . . . . . . 254
12.3 Champ équiprojectif de vecteurs . . . . . . . . .. . 256
12.4 Torseurs........................... . . . . . . . . . . . . . . 257
12.5 Opérations sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . 259
12.6 Champ de vecteurs antisymétriques . . . . . . . 260
12.7 Vecteurs liés, libres ........................ . . . . . . . 261
12.8 Champ de moment..................... . . . . . . . . . . . . 262
12.9 Axe d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
CHAPITRE 13 • ÉLÉMENTS SUR LES TENSEURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265
PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE, PRINCIPE DES
PUISSANCES VIRTUELLES
CHAPITRE 7 • PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.1 Introduction : un peu d’histoire . . . . . . . . . . . 167
7.2 Énoncé du principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . 168
CHAPITRE 8 • PRINCIPE DES PUISSANCES VIRTUELLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.1 Introduction : un peu d’histoire. . . . . . . . . . 174
8.2 Énoncé du principe des puissances virtuelles . 174
Table des matières
8.3 Choix de torseurs virtuels particuliers et théorèmes de la
dynamique ......................... . . . . . . . . . . . . . 175
Exercices ................................ . . . . . . . . . . . . . 196
Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
CINQUIÈME PARTIE
ÉQUATIONS DU MOUVEMENT
CHAPITRE 9 • LINÉARISATION DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT. . . . . . . . . . . . 216
9.1 Linéarisation des équations de Lagrange . . . 216
9.2 Vibrations autour d’une position d’équilibre stable . . . . . . . . . . . . 230
CHAPITRE 10 • CHOCS ET PERCUSSIONS . . . . 232
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232
10.2 Cas d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10.3 Cas d’un solide ou d’un système de solides . 233
SIXIÈME PARTIE
QUELQUES RAPPELS MATHÉMATIQUES SUR LES TORSEURS
ET LES TENSEURS
CHAPITRE 11 • CALCUL VECTORIEL. . . . . . . . 246
11.1 Opérations sur les vecteurs. . . . . . . . . . . . . 246
11.2 Champs de vecteurs ................ . . . . . . . . . 249
CHAPITRE 12 • DÉRIVATION VECTORIELLE . . 253
12.1 Dérivée d’un vecteur......................... . . . . . . 253
12.2 Changement de base de dérivation. . . . . . . . 254
12.3 Champ équiprojectif de vecteurs . . . . . . . . .. . 256
12.4 Torseurs........................... . . . . . . . . . . . . . . 257
12.5 Opérations sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . 259
12.6 Champ de vecteurs antisymétriques . . . . . . . 260
12.7 Vecteurs liés, libres ........................ . . . . . . . 261
12.8 Champ de moment..................... . . . . . . . . . . . . 262
12.9 Axe d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
CHAPITRE 13 • ÉLÉMENTS SUR LES TENSEURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265
TROISIÈME PARTIE
CONSERVATION DE L’ÉNERGIE : PREMIER PRINCIPE
CHAPITRE 6 • INTRODUCTION ................. . . 155
6.1 Énergétique . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2 Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . 160
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