Table des matières
I Groupes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2
1. Dé nitions2. Puissances et multiples
3. Sous-groupes
4. Morphismes
5. Le groupe Z=nZ
6. Groupes monogènes
II Anneaux : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
1. Dé nitions
2. Idéaux et divisibilité dans un anneau commutatif
3. Décomposition en facteurs irréductibles
4. L'anneau Z=nZ
5. Compléments sur les polynômes
III Matrices : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
1. Opérations
2. Déterminant
3. Polynôme caractéristique
4. Polynôme minimal
5. Applications des matrices aux ev de dimension nie
IV Réduction des endomorphismes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13
1. Éléments propres d'un endomorphisme
2. Diagonalisation, trigonalisation en dimension nie
3. Polynômes d'un endomorphisme
4. Endomorphismes nilpotents
5. Calcul des puissances d'une matrice carrée
6. Système di érentiel d'ordre 1
V Espaces vectoriels normés : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19
1. Norme
2. Suites convergentes
3. Comparaison de normes
4. Topologie d'un espace vectoriel normé
5. Compacité
VI Fonctions continues : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24
1. Limites
2. Continuité
3. Continuité des applications linéaires et bilinéaires
4. Fonctions continues sur un compact
5. Convexité, connexité
VII Fonctions d'une variable réelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28
1. Dérivation
2. Fonctions convexes
3. Intégrale sur un segment
4. Courbes paramétrées
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VIII Séries : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33
1. Convergence d'une série
2. Critères de convergence
3. Sommation des relations de comparaison
4. Séries doubles
5. La série exponentielle
IX Intégrales généralisées : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38
1. Convergence d'une intégrale
2. Critères de convergence
3. Intégration terme à terme
4. Convergence dominée
X Suites, séries et intégrales à paramètre : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42
1. Interversion des limites
2. Fonction dé nie par une limite
3. Fonction dé nie par une série
4. Fonction dé nie par une intégrale
XI Espaces préhilbertiens : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47
1. Rappels
2. Orthogonalité
3. Familles orthonormales
4. Endomorphismes orthogonaux
5. Endomorphismes symétriques
6. Endomorphismes antisymétriques (HP)
XII Séries entières : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54
1. Rayon de convergence
2. Opérations sur les séries entières
3. Propriétés analytiques
4. Développements en série entière
5. Application des séries entières
XIII Sommabilité : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58
1. Ensembles dénombrables
2. Famille sommable de réels positifs
3. Famille sommable de vecteurs
4. Applications des familles sommables (HP)
XIV Probabilités : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62
1. Espaces probabilisés
2. Variables aléatoires discrètes
3. Moments
4. Fonction génératrice
5. Lois usuelles
6. Loi des grands nombres
XV Équations di érentielles : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68
1. Introduction
2. Équation linéaire
3. Équation linéaire à coe cients constants
4. Équation linéaire scalaire d'ordre 2