Exercices corrigés:
Théorème de Rolle, accroissements finis
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Date de publication : 16/11/2014
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Exercices corrigés
Théorème de Rolle, accroissements finis
1 Enoncés
Exerci ce 1 Demonstration du théorème des accroissements finis.
Soit f : [a,b] → R, continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. En appliquant le théorème de Rolle à la fonction
F: [a,b] → R définie par
F(x) = f(x) − f(b) − f(a)
b − a (x − a),
montrer qu’il existe c ∈ ]a,b[ tel que
f 0(c) = f(b) − f(a)
b − a .
Exerci ce 2 Soit P la fonction polynômiale définie par P(x) = 3x 4 − 11x 3 + 12x 2 − 4x + 2. Montrer que P 0
s’annule au moins une fois sur ]0, 1[.
Exerci ce 3 Soit f : R → R la fonction définie par
f(x) = sin x + cos x
1 + cos 2 x .
Montrer que, pour tout a ∈ R, f 0 s’annule au moins une fois sur l’intervalle ]a,a + 2π[.
Exerci ce 4 Soient f,g: [a,b] → R, continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[. On suppose que f(a) 6= f(b) et
g(a) 6= g(b). Montrer qu’il existe c ∈ ]a,b[ tel que
f 0(c)
f(a) − f(b) =
g 0(c)
g(a) − g(b) .
On considérera pour cela la fonction F définie sur [a,b] par F(x) = f(a) − f(b) g(x) − g(a) − g(b) f(x).
Exerci ce 5 Soient p et q deux réels et n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Montrer que la fonction
polynômiale P définie par P(x) = xn + px + q admet au plus trois racines réelles si n est impair et au plus deux
racines réelles si n est pair.
Exe rci ce 6 En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction Arctg, montrer que
∀t > 0, Arctg t > t
1 + t 2 .
Exerci ce 7 Soit f : R ∗ → R la fonction définie par f(x) = exp(1/x). Montrer que, pour tout x > 0, il existe
c ∈ ]x,x + 1[ tel que
f(x) − f(x + 1) = 1
c 2 exp 1c .
Déterminer
lim
x →∞
x 2 exp x1 − exp x + 11 .
Exerci ce 8 Soit f : [a,b] → R ∗ +, continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. En utilisant la fonction g := ln f,
montrer qu’il existe c ∈ ]a,b[ tel que
f(b)
f(a) = exp ff0((cc)) (b − a) .
Exerci ce 9 Soit P la fonction polynômiale réelle définie par
P(x) = a 0 + a 1x + · · · + a nxn.
On suppose que les coefficients de P satisfont la relation
a 0 +
a 1
2
+ · · · +
a
n
n + 1
= 0.
En considérant une primitive de P, montrer que P admet au moins une racine dans l’intervalle ]0, 1[.
Exerci ce 10 (a) A l’aide du théorème des accroissements finis, montrer que
∀x > 0, 1
x + 1
< ln(x + 1) − ln x < 1
x
.
(b) En déduire que les fonctions f et g définies sur R ∗ + par
f(x) = 1 + x1 x et g(x) = 1 + x1 x +1
sont monotones.
(c) Déterminer les limites en l’infini de ln f et ln g, puis de f et g.
Exerci ce 11 Demonstration de la formule de Leibniz.
Montrer que, si f et g sont deux fonctions N fois dérivables (ou N ∈ N ∗), alors fg est au moins N fois dérivable
et, pour tout n ≤ N,
(fg) (n) =
n Xk
=1
Cn
k f(k)g(n −k).
Exerci ce 12 En utilisant la formule de Leibniz, calculer la dérivée d’ordre n de la fonction f définie sur R ∗+
par f(x) = x2 ln x.
