TD Mécanique Quantique 1 SMP S4 FS Rabat
ROYAUME DU MAROC
Université Mohammed V-Agdal
Faculté des Sciences Rabat Agdal
Département de Physique
UM5A FSR
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Les séries n°1: 0 et
Les séries n°3:
I- Puits de potentiel fini
ROYAUME DU MAROC
Université Mohammed V-Agdal
Faculté des Sciences Rabat Agdal
Département de Physique
UM5A FSR
contenu: 14 séries FSR
Année universitaire 2014/2015 SMP S4 : 4 séries + corrigé || Prof. M. Loulidi
Année universitaire 2013/2014 SMP S4 : 2 séries + corrigé
Année universitaire 2006/2007 SM-SMI : 4 séries || Pr. M. ABD-LEFDILAnnée universitaire 2007/2008 SM-SMI : 4 séries || Pr. M. ABD-LEFDIL
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Date de publication : 24/01/2016
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Extrait:
Les séries n°1:
I- Le mouvement d’un corpuscule est parfaitement défini si on se donne : un nombre qui
représente l’énergie de la particule et un vecteur qui représente l’impulsion de la particule.
Sachant que ces grandeurs physiques sont données par :
Montrer que
II- l’intensité énergétique I est la puissance émise par unité d’angle solide.
Un laser He-Ne (λ= 628 nm) de faible puissance émet de façon continue une puissance P1=
1 mW, sa divergence est 2θ1=1.2 10-3 rad et le rayon du faisceau de sortie est r1= 0.35 mm.
a- Quelle doit être la puissance d’une source thermique de même intensité thermique
b- Reprendre la question précédente dans le cas d’un laser CO2 (λ= 10.6 µm) de puissance
P2= 2.7 KW, sa divergence est 2θ2=0,01 rad et le rayon du faisceau de sortie est r2= 0.25
mm. Conclure
III- Une station radio opère à 1000 W et sous une fréquence de 880 kHz. Combien de
photons émet-elle par seconde ?
IV- Un rayonnement de longueur d’onde 200 nm éclaire la surface d’un métal. Des électrons
d’énergie cinétique 3 eV sont éjectés. Quel est le travail de sortie du métal?
V- Etudions l’effet photoélectrique sur une surface en fer Fe de 1 cm2 avec une intensité de 1
µW/ cm2. Supposons que le fer a un coefficient de réflexion de la lumière égal à 96 %.
En plus, seulement 3 % de la lumière incidente est dans le domaine UV (λ= 250 nm) au
dessous du seuil nécessaire pour observer l’effet photoélectrique.
- Combien de photoélectrons sont-ils éjectés par seconde?
- Quel est le courant électrique mesuré?
- Quel est le travail d’extraction W?
VI- 1- Démontrer l’expression de Compton.
Trouver le changement de longueur d’onde si l’observation se fait perpendiculairement à la
direction du photon incident.
2- Trouver l’angle entre la direction du mouvement de l’électron et la direction du photon
incident, si le photon est diffusé à 90°.
Quelle est l’énergie acquise par l’électron ?
3- Trouver le changement de longueur d’onde maximum pour une diffusion Compton de
photons par des protons.
4- Considérons l’annihilation d’un électron et d’un positron (q=+e et m=me) avec émission de
photons γ. La réaction peut s’écrie : e+ + e- → n γ.
On supposera que l’électron et le positron sont pratiquement au repos quand la réaction se
produit.
i) Pour quelle valeur de n, la réaction peut-elle se produire ?
ii) Calculer la fréquence du photon émis.
VII- Calculer la longueur d’onde associée à chacun des cas ci-dessous:
a- Un électron accéléré avec un potentiel de 100 V.
b- Un électron non relativiste de masse m0= 9.1 10-31 kg et de vitesse V= 10-2 C.
c- Un neutron thermique à T= 300 K.
d- Un électron relativiste d’énergie 109 eV.
e- Une bille de masse 10 g et de vitesse 10 m/s.
Exercices complémentaires :
I- Soit un ressort de raideur K=49 N/m auquel on attache une masse de 1 kg.
- Calculer la fréquence de ce système.
- Calculer les quantum d’énergie que peut posséder ce ressort. Discuter le résultat obtenu.
II- Lors de l’utilisation d’un microscope usuel (microscope optique), les objets qu’on veut
grossir sont éclairés par la lumière du jour (lumière visible 400 nm- 800 nm).
On définit le pouvoir de résolution R d’un microscope par sa capacité à séparer clairement
deux points rapprochés et on montre que R est inversement proportionnel à la longueur
d’onde. Ainsi, on obtiendra un pouvoir de résolution beaucoup plus important en utilisant un
faisceau d’électrons au lieu d’un faisceau de photons visibles. C’est là le principe de base du
microscope électronique.
- Calculer la longueur d’onde associée à un électron accéléré avec une tension de 50 KV.
- De combien est augmenté R comparé à celui obtenu avec une lumière de λ= 500 nm.
III- Pour que l’œil puisse percevoir une source ponctuelle dans l’obscurité, il faut que la rétine
absorbe une énergie d’environ 3 10 18 J de la radiation la plus intense ((λ= 550 nm).
A quel nombre de photons correspond ce seuil de vision?
IV- La longueur d’onde moyenne d’un rayonnement d’une lampe à filament incandescent est de
1200 nm. Trouver le nombre de photons émis par unité de temps pour une lampe de 75 W.
V- On envoie sur une photocathode de césium:
a- Une radiation visible (raie jaune du sodium Na) dont la longueur d’onde est λ=5890 A.
Déterminer l’énergie maximale des photoélectrons éjectés sachant que la longueur d’onde
seuil du césium est 6884 A.
b- Une radiation de longueur d’onde inconnue ; l’énergie maximale est alors 120 meV.
On demande de déterminer la constante de Planck et la longueur d’onde incidente.
VI- Le travail de sortie du platine Pt est égale à 5.3 eV. A partir de quelle longueur d’onde on
pourra observer l’effet photoélectrique et à quel domaine du rayonnement électromagnétique
elle appartient? Conclure
VII- Effet Doppler
Soit une source lumineuse fixe qui émet des photons de fréquence ν. Ces photons tombent
sous incidence normale sur un miroir plan parfait qui s’éloigne de la source à la vitesse
v<
On appelle ν’ la fréquence du photon réfléchi et V’ la vitesse du miroir après le choc.
- Ecrire les lois de conservation pour le choc photon- miroir.
- En éliminant la vitesse V’, trouver une relation entre ν et ν’. Que devient cette relation si M
est très grand. Conclure
Y. HASSOUNI
Décomposer en série de Fourier f
Développer la fonction en série de sinus
Développer la fonction en série de cosinus
calculer la transformée de Fourier des fonctions
Trouver la forme générale des solution de l'équation de propagation à une dimension
delta Dirac
La lorentziénne
La gaussine
soit les zéros simples d'une fonction
soit la somme de δ régulièrement espacés
calculer la transformée de Fourier de V(x)
Les séries n°2:
Les séries n°2:
Exercices de mathématiques
I- Soit le fonction créneau f(x) donnée par
- Calculer la Transformée de Fourier T.F. (f(x))
- Représenter graphiquement f(x) et T.F.(f(x)) ( cas où a= 3)
II- Soient f(x) et g(k) les T.F. l’une de l’autre. Montrer que :
∫-+∞∞ f(x) 2 dx = ∫-+∞∞ g(k) 2 dk C’est l’égalité de Parseval- Plantherel.
III- Démontrer le théorème relatif au calcul de la T.F. d’un produit de convolution
IV- Calculer la T. F. de la fonction gaussienne f(x)= )exp(−αx 2
Exercices sur le chapitre 2
I- On considère une particule de masse m animée d’une vitesse V soumise à un potentiel→
V( r )
indépendant du temps.
1- Ecrire l’équation de Schrödinger de cette particule.
2- En posant l fonction d’onde décrivant cette particule sous la forme : u(t)ψ( →r, t) = φ( →r )
Montrer que : u(t) = Ae −hi Et et queφ( →r ) obéit à l’équation de Schrödinger indépendante du
temps de la forme )Hφ( →r ) = E φ( →r
3- En se plaçant à une dimension et en prenant V(x) comme indiqué ci-dessous:
a- Exprimer )φ'(ε) − φ'(−ε
b- Calculer la limite de cette quantité quand ε → 0 selon que V est fini ou infini. Conclure
II- Un état d’énergie est dit lié si sa fonction d’onde s’annule à l’infini. Dans le cas contraire, il
est dit non lié.
Une fonction d’onde décrivant un état indépendant du temps (état stationnaire) d’une
particule en mouvement sur un axe X’OX est donnée par : φ(x) = Ae −a x avec a > 0
1- Déterminer A pour que la fonction φ(x) soit normée. S’agit-il d’un état lié?
2- Déterminerφ'(ε) − φ'(−ε) . Conclure.
Pr. M. ABD-LEFDIL
III- Soit φ(r, θ, ϕ) = Be −br2 avec b>0, la fonction qui décrit une particule de masse m.
1- Déterminer B pour que la fonction φ soit normée. S’agit-il d’un état lié?
2- Déterminer la forme du potentiel correspondant.
IV- Un électron est décrit par une fonction d’onde ψ(x) = Ce −b x avec b= 2
et − ∞ < x < +∞
1- Calculer C pour que la fonction ψ soit normée à l’unité.
2- Chercher la probabilité pour que l’électron soit dans la région 0 ≤ x ≤ 0,25 Ao
3- Utiliser le résultat de 2- pour calculer la probabilité pour que l’électron soit dans la zone
V- La fonction d’onde d’un système quantique est donnée par:
1- Déterminer C pour que la fonction ψ soit normée à l’unité.
2- Déterminer l’incertitude ∆x sur x et ∆p sur p
On prendra (∆x)2=-2
En déduire le produit ∆x ∆p
3- Montrer que et
restent nulles à tout instant.
Exercices complémentaires
I- Développer la fonction f(x)= x avec 0
- Série de sinus
- Série de cosinus
En déduire que ∑
II- Chercher une série de Fourier pour f(x)=x2 (0
f(x)=x (0
III- Montrer que la distribution de Dirac δ peut être représentée comme la limite d’une
lorentzienne :
Il existe d’autres représentations possibles:
1 sin(x / )
(x) lim
IV- Considérons les fonctions d’ondes suivantes:
Quelles sont les fonctions propres de
Quelles sont les fonctions propres de P 2 ?
Déterminer ∆P. En déduire ∆x.
V- Lesquels des opérateurs Ai ci-dessous sont-ils linéaires ?
VI- Une particule de masse m, peut se déplacer suivant l’axe X’OX. Elle est soumise à une
force de rappel de la part de O égale à F=–mω2x. Cette particule est représentée à l’instant
initial par le paquet d’ondes : σ
En utilisant le théorème d’Ehrenfest, déterminer la position moyenne t et l’impulsion
moyenne
t à l’instant t.
0 sont le valeurs moyennes pour t=0.
VII- A la date t=0, on considère un paquet d’onde ψ(x,0) à une dimension, de position
moyenne x0 et d’impulsion moyenne p0, défini par :
ψ(x,0) = e h f(x − x ) avec f(x) = Ce σ
La transformée de Fourier de f a pour expression:
e f(x) dx C e
1- Donner l’expression de la T.F. de ψ(x,0) et dessiner l’allure de ψ(x,0) 2 et T.F.(ψ(x,0)) 2
2- Le paquet d’onde évolue librement. On note
= l’hamiltonien du système.
Déterminer l’expression de ))T.F.(ψ(x, t
3- Faire l’approximation, à l’ordre 1 en p, de H:
Pour déduire l’expression de ψ(x,t). Tracer l’allure de ψ(x, t) 2
4- Même question que précédemment en poussant le développement jusqu’à l’ordre 2 en p.
5- Application à un électron (m kg≈ 10 −30 ) et à un grain de poussière (m kg≈ 10 −15 ). On
le paquet d'ondes
équation de schrödinger
Rappeler la définition de la vitesse de groupe Vg
L'effet photo-électrique permet de transformer la lumière en courant électrique
la fréquence seuil
Le travail d'extraction d'un électron à la surfrace d'une feuille d'or
calculer la longeur d'onde seuil
l'énergie cinétique maximale des électrons
la tension d'arrêt
la cathode d'une cellule photo-électrique reçoit un rayonnement de longeur d'onde
débit un courant I que l'on peut annuler en portant l'anode de la cellule à un potentiel de -1.26 Volt plus bas par rapport à la cathode
calculer le potentiel d'extraction V0 de cette cathode
une lampe à filament incandescent, radiation, photons,seuil de vision
faisceau de photons monochromatiques de longeur d'onde lambda se déplaçant dans le vide ,ce faisceau est dirigé sur une cible ne contenant que les électron que l'on supposera au repos
les impulsion d'un photon et d'un électron avant et après le choc
écrire les équation de conservation de l'impulsion et de l'énergie lors du choc phonon-électron
les expression relativiste de l'énergie et de l'impulsion, calculer la variation de la longeur d'onde en fonction de teta qui est l'angle que fait le photon diffusé avce le photon incident
A 90 du faisceau incident. on recueille le faisceau de photons diffusé sur une cellule photo-électrique. le seuil d'émission photo-électrique correspond
calculer en eV l'énergie maximale des électrons émis. Le faisceau des électrons incidents
calculer l'énergie cinétique Ec en fonction de l'énergie cinétique du photon incident de l'angle
discuter la validité de l'approximation de repos initial de l'électron
Les séries n°3:
I- Puits de potentiel fini
Un électron est situé dans un puits de potentiel de largeur 2a, de hauteur V0. On étudie les
états liés, c'est-à-dire ceux dont l’énergie E des électrons est telle que 0
1- Déterminer la fonction d’onde φ(x) d’un électron.
2- En utilisant les conditions aux limites, déterminer les équations qui permettent le calcul
des valeurs des énergies.
3- Comment peut-on résoudre ces équations?
4- Pour quelle valeur maximale de V0 n’y a-t-il qu’un seul état possible?
5- Pour une largeur de puits égale à 5 nm, calculer, en électron-volt, la valeur maximale de
V0 ne permettant qu’un seul état. Déterminer l’écart maximal entre les deux premiers
niveaux.
II- Soient deux puits de potentiel identiques l’un à coté de l’autre. Dans la boite n°1 l’électron
est dans l’état fondamental, alors que dans la boite n°2 l’électron est dans le premier état
excité.
a- Quel est l’électron qui a le plus de probabilité de se trouver au centre du puits ?
b- Imaginer que vous avez effectué un nombre important de mesures de la position de
l’électron pour chaque puits.
Dans le puits n°1, vous trouvez que 620 mesures donnent que l’électron est localisé à la
position L/4 du mur gauche du puits.
Approximativement, combien de mesures dans le puits n°2 vous donneront la position de
l’électron en L/4 du mur gauche de ce puits ? Justifier votre réponse.
c- Dans le puits n°2, l’électron fait un saut du premier état excité vers l’état fondamental et
émet un photon de longueur d’onde 500 nm, calculer la largeur du puits.
Electron à l’état
fondamental
Puits n°1
Electron au premier
état excité
Puits n°2
III- Dans les barrières ci-dessous, l’électron incident a une énergie égale à la moitié de celle
de la barrière.
La probabilité de transmission dans la barrière I est T1=10-10, et V0=1,25 eV.
a- Chercher la probabilité de transmission T2 dans la barrière II.
b- Chercher la valeur de V1 en eV pour que la probabilité de transmission T3 dans la barrière
III soit égale à T1.
IV- On considère deux boites bidimensionnelles comme le montre la figure ci-dessous.
Chacune d’elle contient un électron.
a- Laquelle correspond à l’état fondamental de plus basse énergie ? Expliquer
b- Laquelle correspond au premier état excité de plus basse énergie ? Chercher le rapport
des énergies des deux états excités de chacune des deux boites.
c- Si la longueur d’onde du photon émis quand l’électron passe de l’état excité à l‘état
fondamental dans la boite 1 est égale à 500 nm, quelle est la longueur d’onde du photon
émis quand l’électron passe de l’état excité à l‘état fondamental dans la boite 2 ?
V- Soit une particule de masse m en mouvement dans un potentiel défini par :
a et V0 sont des réels positifs.
1- Donner l’allure de ce puits de potentiel.
2- A quelle condition existe-t-il un niveau d’énergie E=-V0.
Illustrer votre réponse par une résolution graphique.
Exercices complémentaires :
I- Des électrons incidents d’énergie E=V0/2 frappent une barrière de potentiel triangulaire de
hauteur V0=128 eV comme le montre la figure ci-dessus.
I dx V(x) E où x1 et x2 sont les points classiques qui entrent dans
l’expression de la probabilité de transmission. I doit être en eV × A
II- On considère le potentiel V(x) suivant :
1- Représenter la courbe V(x).
On étudiera seulement les états liés pour lesquels l’énergie totale E est telle que : –V0
2- a- Déterminer l’équation de Schrödinger du système.
b- Déterminer la forme générale de la fonction d’onde, définie par partie (régions 1 et 2),
sous forme d’exponentielles. On posera :
Garder tous les coefficients sans en donner l’interprétation.
3- a- Ecrire les conditions de continuité en x=0 et en x= a.
b- En fonction du coefficient de eiρx, calculer les coefficients de ekx et celui de e-kx.
c- Ecrire la condition limite (que l’on justifiera) sous forme d’une équation: tg(ρa)=F(ρ.k) (E1)
d- Ecrire alors (les coefficients étant interprétés) la fonction d’onde non normée de la
particule.
e- Dans φ2(x), mettre sin (ρa) en facteur, faire apparaître tg (ρa) que l’on remplacera par sa
valeur trouvée en c-.
f- Ecrire la fonction définitive non normée de φ(x).
On veut résoudre l’équation (E1) du 3-c-. On pose : ρ 02 = ρ 2 + k 2
4-a- Calculer ρ0.
b- Exprimer sin(ρa) en fonction de ρ et ρ0
c- Avec l’expression de sin(ρa) et en tenant compte du signe de tg(ρa), donner une
interprétation graphique des solutions de (E1).
Ecrire une relation: Ei=F(ρi, m, V0) avec ρi une solution graphique.
III- Potentiel carré, quantification de l’énergie
Nous allons maintenant essayer de localiser une particule dans une portion de l’espace.
Nous la placerons dans un potentiel négatif dans lequel elle va rester si son énergie E est
négative. Pour simplifier, nous mettrons la particule dans un puits de potentiel carré.
Etudier en détails la résolution de ce problème
Quelques exercices de la série n°3 en version anglaise
saut de potentiel
barrière de potentiel - Effet tunnel
problème unidimensionnel correspondant à une particule de masse m et d'énergie E. placée sur un axe x'x.L'énergie potentielle étant supposée nulle pour 0
Ecrire et résoudre l'équation de Schrödinger correspondant à cette particule
Trouver l'énergie en correspondant au n ème niveau
montrer que Φi correspondant à Ei et Φj correspondant à Ej sont orthogonales si i≠j
calculer la longueur d'onde λ du photon émis quand l'électron passe de E6 à E5
smp semestre 4 série 3
vitesse de groupe Vg, vitesse de phase VΦ d'un paquet d'onde correspondant à une particule relativiste de masse m d'énergie E et d'impulsion p
une particule représentée par la Fonction d'onde Ψ(x,0)
normaliser la fonction d'onde
Tracer le graphe de Ψ(x,0)
calculer la probabilité de trouver la particule entre 0 et a, et entre a et b
calculer la valeur moyenne de x ?
évoluant dans un potentiel V(x) est représentée à l'instant t=0 par la fonction d'onde Ψ(x)
monter que Ψ(x) est une fonction de carré sommable
Normaliser la fonction Ψ(x)
Ecrire l'équation de Schrödinger vérifiée par Ψ(x) et en déduire la forme de V(x)
potentiel V(r) indépendant du temps
ecrire l'équation de Schrödinger de cette particule
obéit à l'équation de Schrödinger indépendante du temps
Puits de potentiel infini
in considère dans l'éspace des moments linèaires à une dimension la fonction d'onde
trouver la fonction d'onde correspondante dans l'espace de configuration et déterminer la constante pour que soit norméee
définition résonnabke de "la largeur"
oscille sur un ségment de longueur x0
on associe à cette particule une onde de vecteur d'onde k, principe d'incertitude de Heisenberg
un état d'énergie E est lié ou non n selon sa que sa fonction d'onde s'annule ou non à l'infini
décrivant un état stationnaire d'une particule,susceptible de se mouvoir sur un axe
normer la fonctionn s'agit il d'un état lié ? déterminer la forme de potentiel V(x) auquel la particule est soumise
Ecrire l'équation de Schrödinger qui donne l'évolution de la fonction d'onde φ(x) de la particule
En utilisant les conditions de raccordement, montrer que l'équation de Schrödinger posséde aussi bien des solutions paires que des solutions impaires
déterminer les états d'énergie de la particule et déterminer la nature de son spectre
montrer qu'il existe, à la limite V0->0,un seul état lié
calculer le coefficient de transmission T. En déduire les valeurs d'énergie qui correspondent à la résonance
déterminer les condition satisfaites par la fonction d'onde Ψ(x) représentant un état stationnaire d'énergie E associé à ce puit et par sa dérivé première Ψ'(x)
on suppose que l'énergie de la particule est négative. Ecrire puis résoudre l'équation de Schrödinger dans les différentes régions
on suppose maintenant que l'énergie de la particule est négative. Ecrire puis résoudre l'équation de Schrödinger dans les différentes régions
calculer le coefficient de transmission T en fonction de E
Une des preuves expérimentales de l'éxistence de l'effet tunnel est la désintégration de la particule α alpha. La particule α(2 protons + 2 neutrons) d'énergie E existe dans le noyau dans une cuvette sphérique de potentiel de rayon r0. ce potentiel peut être approximé par une forme simple
Etablire l'équation de Schrödinger dans les différentes régions du potentiel
Les séries n°4:
I- Si le commutateur de deux opérateurs commute avec chacun d’eux:[A,[A,B]]= [B,[A,B]]= 0,
on a l’identité de Glauber:
Pour cela, nous allons procéder par étapes.
a- Montrer que [B, A n ] = nA n−1[ ]B, A .
En déduire que [B, e −Ax ] = −xe −Ax[ ]B, A où x est un paramètre.
b- Considérer l’opérateur dépendant du paramètre x : f(x) = e AxeBx
Déterminer l’expression de
en fonction de A, B, [A,B] et f(x). En déduire l’identité de Glauber.
II- Soient deux quantités physiques décrites par les opérateurs hermitiques A et B.
a- En écrivant le commutateur de A et B sous la forme :
[A,B]= iC
Montrer que C est un opérateur hermitique.
b- Démontrer la relation d’incertitude d’Heisenberg sur ce deux observables:
Indication: Considérer le vecteur |ϕ>= (A+iλB) |ψ> et écrire que le carré de sa norme est
positif ou nul.
III- Dans plusieurs problèmes de mécanique quantique, l’espace des états n’a que deux
dimensions. C’est le cas par exemple pour le spin de l’électron. De même, quand les deux
premiers niveaux d’un système quantique sont proches en énergie et bien séparés des
niveaux supérieurs, on peut le traiter comme un système à deux niveaux.
Dans cet exercice, on considère donc un espace de Hilbert à 2 dimensions auquel on
associe une base constituée de deux états propres qu’on notera |ϕ0> et |ϕ1>.
a- Dans cette base, l’hamiltonien H s’exprime sous forme d’une matrice 2 X 2.
Où W a la dimension d’une énergie et représente ce qu’on appelle un couplage.
Déterminer les valeurs propres E+ et E- de H.
b- exprimer les vecteurs propres |ψ+> et |ψ−> en fonction de |ϕ0> et |ϕ1>.
c- A l’instant t=0, l’état du système est |ψ(0)>= |ϕ0>.
Exprimer |ψ(0)> dans la base des vecteurs propres.
d- Résoudre l’équation de Schrödinger dans la base des vecteurs propres en tenant compte
de la condition initiale.
e- Montrer que la valeur moyenne de H est indépendante du temps.
f- Montrer que la probabilité de trouver le système à l’instant t dans l’état |ϕ1> est une
fonction oscillante du temps à la fréquence
g- Reprendre le calcul avec
Montrer que la fréquence des oscillations est égale à
+ et leur amplitude à
IV- Dans un espace vectoriel à deux dimensions, on considère l’opérateur A dont la matrice,
dans une base orthonormée {|1>, |2>}, s’écrit :
1- A est-il hermitique?
2- Calculer ses valeurs propres et ses vecteurs propres qu’on notera |ψ1> et |ψ2>.
(On donnera leur développement normalisé dans {|1>, |2>})
3- Vérifier que A est une observable.
4- Exprimer A dans la base {|ψ1>,|ψ2>}
V- On considère un système physique dont l’espace des états est à trois dimensions,
rapporté à une base orthonormée {|1>,|2>, |3>}.
Dans la base de ces trois vecteurs, l’opérateur hamiltonien H du système et l’observable B
s’écrivent :
Où ω et b sont des constants réelles positives.
1- H et B sont-ils hermitiques?
2- Montrer que H et B commutent. Donner une base de vecteurs propres communs à H et B.
3- Parmi les ensembles d’opérateurs : {H}, {B}, {H,B}, {H2,B} lesquels forment un E.C.OC. ?
Exercices complémentaires:
I- Montrer que [A,BC]= [A,B] C+ B [A,C]
Développer [A,Bn] en fonction de [A,B]
Cas où [A,[A,B]]= 0
Cas particulier : A= X et B= Px
II-
a- Les fonctions d’une base continue appelée base de Fourier (ou encore base des ondes
planes) sont données par:
P étant la quantité de mouvement.
Montrer les relations d’orthonormalisation et de fermeture (R.O. et R.F.).
b- Même question pour la base de Dirac Vα (x) = Vy(x) = δ(y − x)
III- Soit ξ3 un espace des états à 3 dimensions.
Soit {|1>,|2>,|3>} une base discrète orthonormée et complète dans ξ3.
1- Donner R.O. et R.F.
2- Soit un état physique noté |ψ> tel que :
|ψ>= a1 |1>+a2 |2>+a3 |3>
Chercher les ai pour que |ψ> soit normé et que a1, a2 et a3 forment une suite géométrique de
raison 2.
3- déterminer l’opérateur de projection Pψ et montrer qu’il est bien hermitique.
IV- Soit une observable représentée, dans la base {|+>Z,|->Z}, par la matrice :
S Z = 2h σ Z = 2h
1- Quels sont les valeurs et les vecteurs propres de SZ.
2- Dans la base {|+>Z,|->Z}, on définit les opérateurs Sx et Sy:
S x = 2h σ x = 2h 1001 S Y = 2h σ Y = 2h
a- Sx et Sy sont-ils hermitiques?
b- Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de Sx et Sy.
c- Calculer [Sx,Sy], [Sy,Sz] et [Sz,Sx].
d- On définit S2 par : S 2 = S 2x + S 2y + S 2z
Calculer [S2,Sz]. Conclure
Remarque: les matrices σx, σy et σz sont appelées matrices de Pauli.
Exercices en version anglaise
on considère un système quantique dont l'espace des états, qui est à deux dimensions, est rapporté à la base orthonormée formée par les kets |U1> et |U2>.Dans la base de ces deux vecteurs,les opérateurs A et B sont définies par:
etablir les relations d'orthonormalisation et de fermeture de la base {|U1>,|U2>}
calculer le commutateur [A,B]. Si A et B commutent, donnenr alors une base orthonormée de vecteurs propres communs à A et B
Le système physique est à l'instant t=0 dans l'état:
calculer l'opérateur projecteur Pψ sur le ket |ψ>
calculer et. En déduire l'écart type
on considère un système physique dont l'espace des états, qui est à trois dimensions ,est rapporté à la base orthonormée {|φ1>,|φ2>,|φ3>}. dans la base de ces trois vecteurs,l'opérateur hamiltonien H du système et l'opérateur A s'écrivent:
donner la matrice représentant l'opérateur B dans {|φi>;i=1,2,3}
donner la définition d'un opérateur hérmitique et d'une observable
Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de H.Déterminer les sous-espace propres associés aux valeur propres de H.
calculer le commutateur de H et A,Trouver une base orthonormée de vecteurs propres communs à H et A.
Parmi les ensembles suivants d'opérateurs,lesquels forment un E.C.O.C:{H},{A},{H,A},{H^2,A}
calculer le commutateur entre H et B.L'ensemble {H,B} forme-il un E.C.O.C
on appelle trace d'un opérateur,la somme de ses éléments diagonaux.
montrer que Tr A est indépendante de la base choisie
M est-il hermitique ? Calculer ses valeurs propres et ses vecteurs propres (on donnera leur développement normalisé sur la base)
calculer les matrices représentant les projecteurs sur ses vecteurs propres
vérifier alors que ceux-ci satisfont à des relations d'orthogonalité et de fermeture
même question pour Ly
soit H l(opérateur hamiltonien d'un système physique, on désigne par |φn> les vecteurs propres de H, de valeurs propres En: H|φn>=En|φn>
rappeler les relations de fermeture et d'orthonormalisation des bases {|r>} et {|p>} rapportées à une dimension de l'espace (que l'on notera{|x>} et {|px>})
quelle est la relation entre ϕ(x) et les coefficients du développement dans la représentation {|x>} de l'état |ϕ>, même question pour la transformée de Fourier de ϕ(x),dans le représentation {|px>}
en utilisant la relation de fermeture de la représentation {|x>} que nous avons la relation
effectuer les intégrales des relations précédentes dans le cas du potentiel
Ecrire l'équation de Schrödinger des états stationnaires du système physique en représentation {|p>} dans le cas du potentiel V(x) défini précédemment
exprimer ϕ bar (p) en terme de ϕ(0) à partir de la question 5
calculer ϕ(x) ,la norme.calculer l'énergie E de l'état lié
l'état quantique de ce système est donnée par
1-Montrer que le vecteur d'état |ψ> est normé à l'unité
calculer l'opérateur projecteur Pψ sur le ket |ψ>
Montrer que l'opérateur Pψ est une observable
pour quelle condition les observables A et Pψ commutent
états liés, c'est-à-dire ceux dont l’énergie E des électrons est telle que 0
1- Déterminer la fonction d’onde φ(x) d’un électron.
2- En utilisant les conditions aux limites, déterminer les équations qui permettent le calcul
des valeurs des énergies.
3- Comment peut-on résoudre ces équations?
4- Pour quelle valeur maximale de V0 n’y a-t-il qu’un seul état possible?
5- Pour une largeur de puits égale à 5 nm, calculer, en électron-volt, la valeur maximale de
V0 ne permettant qu’un seul état. Déterminer l’écart maximal entre les deux premiers
niveaux.
II- Soient deux puits de potentiel identiques l’un à coté de l’autre. Dans la boite n°1 l’électron
est dans l’état fondamental, alors que dans la boite n°2 l’électron est dans le premier état
excité.
a- Quel est l’électron qui a le plus de probabilité de se trouver au centre du puits ?
b- Imaginer que vous avez effectué un nombre important de mesures de la position de
l’électron pour chaque puits.
Dans le puits n°1, vous trouvez que 620 mesures donnent que l’électron est localisé à la
position L/4 du mur gauche du puits.
Approximativement, combien de mesures dans le puits n°2 vous donneront la position de
l’électron en L/4 du mur gauche de ce puits ? Justifier votre réponse.
c- Dans le puits n°2, l’électron fait un saut du premier état excité vers l’état fondamental et
émet un photon de longueur d’onde 500 nm, calculer la largeur du puits.
Electron à l’état
fondamental
Puits n°1
Electron au premier
état excité
Puits n°2
III- Dans les barrières ci-dessous, l’électron incident a une énergie égale à la moitié de celle
de la barrière.
La probabilité de transmission dans la barrière I est T1=10-10, et V0=1,25 eV.
a- Chercher la probabilité de transmission T2 dans la barrière II.
b- Chercher la valeur de V1 en eV pour que la probabilité de transmission T3 dans la barrière
III soit égale à T1.
IV- On considère deux boites bidimensionnelles comme le montre la figure ci-dessous.
Chacune d’elle contient un électron.
a- Laquelle correspond à l’état fondamental de plus basse énergie ? Expliquer
b- Laquelle correspond au premier état excité de plus basse énergie ? Chercher le rapport
des énergies des deux états excités de chacune des deux boites.
c- Si la longueur d’onde du photon émis quand l’électron passe de l’état excité à l‘état
fondamental dans la boite 1 est égale à 500 nm, quelle est la longueur d’onde du photon
émis quand l’électron passe de l’état excité à l‘état fondamental dans la boite 2 ?
V- Soit une particule de masse m en mouvement dans un potentiel défini par :
a et V0 sont des réels positifs.
1- Donner l’allure de ce puits de potentiel.
2- A quelle condition existe-t-il un niveau d’énergie E=-V0.
Illustrer votre réponse par une résolution graphique.
Exercices complémentaires :
I- Des électrons incidents d’énergie E=V0/2 frappent une barrière de potentiel triangulaire de
hauteur V0=128 eV comme le montre la figure ci-dessus.
I dx V(x) E où x1 et x2 sont les points classiques qui entrent dans
l’expression de la probabilité de transmission. I doit être en eV × A
II- On considère le potentiel V(x) suivant :
1- Représenter la courbe V(x).
On étudiera seulement les états liés pour lesquels l’énergie totale E est telle que : –V0
2- a- Déterminer l’équation de Schrödinger du système.
b- Déterminer la forme générale de la fonction d’onde, définie par partie (régions 1 et 2),
sous forme d’exponentielles. On posera :
Garder tous les coefficients sans en donner l’interprétation.
3- a- Ecrire les conditions de continuité en x=0 et en x= a.
b- En fonction du coefficient de eiρx, calculer les coefficients de ekx et celui de e-kx.
c- Ecrire la condition limite (que l’on justifiera) sous forme d’une équation: tg(ρa)=F(ρ.k) (E1)
d- Ecrire alors (les coefficients étant interprétés) la fonction d’onde non normée de la
particule.
e- Dans φ2(x), mettre sin (ρa) en facteur, faire apparaître tg (ρa) que l’on remplacera par sa
valeur trouvée en c-.
f- Ecrire la fonction définitive non normée de φ(x).
On veut résoudre l’équation (E1) du 3-c-. On pose : ρ 02 = ρ 2 + k 2
4-a- Calculer ρ0.
b- Exprimer sin(ρa) en fonction de ρ et ρ0
c- Avec l’expression de sin(ρa) et en tenant compte du signe de tg(ρa), donner une
interprétation graphique des solutions de (E1).
Ecrire une relation: Ei=F(ρi, m, V0) avec ρi une solution graphique.
III- Potentiel carré, quantification de l’énergie
Nous allons maintenant essayer de localiser une particule dans une portion de l’espace.
Nous la placerons dans un potentiel négatif dans lequel elle va rester si son énergie E est
négative. Pour simplifier, nous mettrons la particule dans un puits de potentiel carré.
Etudier en détails la résolution de ce problème
Quelques exercices de la série n°3 en version anglaise
saut de potentiel
barrière de potentiel - Effet tunnel
problème unidimensionnel correspondant à une particule de masse m et d'énergie E. placée sur un axe x'x.L'énergie potentielle étant supposée nulle pour 0
Ecrire et résoudre l'équation de Schrödinger correspondant à cette particule
Trouver l'énergie en correspondant au n ème niveau
montrer que Φi correspondant à Ei et Φj correspondant à Ej sont orthogonales si i≠j
calculer la longueur d'onde λ du photon émis quand l'électron passe de E6 à E5
smp semestre 4 série 3
vitesse de groupe Vg, vitesse de phase VΦ d'un paquet d'onde correspondant à une particule relativiste de masse m d'énergie E et d'impulsion p
une particule représentée par la Fonction d'onde Ψ(x,0)
normaliser la fonction d'onde
Tracer le graphe de Ψ(x,0)
calculer la probabilité de trouver la particule entre 0 et a, et entre a et b
calculer la valeur moyenne
évoluant dans un potentiel V(x) est représentée à l'instant t=0 par la fonction d'onde Ψ(x)
monter que Ψ(x) est une fonction de carré sommable
Normaliser la fonction Ψ(x)
Ecrire l'équation de Schrödinger vérifiée par Ψ(x) et en déduire la forme de V(x)
potentiel V(r) indépendant du temps
ecrire l'équation de Schrödinger de cette particule
obéit à l'équation de Schrödinger indépendante du temps
Puits de potentiel infini
in considère dans l'éspace des moments linèaires à une dimension la fonction d'onde
trouver la fonction d'onde correspondante dans l'espace de configuration et déterminer la constante pour que soit norméee
définition résonnabke de "la largeur"
oscille sur un ségment de longueur x0
on associe à cette particule une onde de vecteur d'onde k, principe d'incertitude de Heisenberg
un état d'énergie E est lié ou non n selon sa que sa fonction d'onde s'annule ou non à l'infini
décrivant un état stationnaire d'une particule,susceptible de se mouvoir sur un axe
normer la fonctionn s'agit il d'un état lié ? déterminer la forme de potentiel V(x) auquel la particule est soumise
Ecrire l'équation de Schrödinger qui donne l'évolution de la fonction d'onde φ(x) de la particule
En utilisant les conditions de raccordement, montrer que l'équation de Schrödinger posséde aussi bien des solutions paires que des solutions impaires
déterminer les états d'énergie de la particule et déterminer la nature de son spectre
montrer qu'il existe, à la limite V0->0,un seul état lié
calculer le coefficient de transmission T. En déduire les valeurs d'énergie qui correspondent à la résonance
déterminer les condition satisfaites par la fonction d'onde Ψ(x) représentant un état stationnaire d'énergie E associé à ce puit et par sa dérivé première Ψ'(x)
on suppose que l'énergie de la particule est négative. Ecrire puis résoudre l'équation de Schrödinger dans les différentes régions
on suppose maintenant que l'énergie de la particule est négative. Ecrire puis résoudre l'équation de Schrödinger dans les différentes régions
calculer le coefficient de transmission T en fonction de E
Une des preuves expérimentales de l'éxistence de l'effet tunnel est la désintégration de la particule α alpha. La particule α(2 protons + 2 neutrons) d'énergie E existe dans le noyau dans une cuvette sphérique de potentiel de rayon r0. ce potentiel peut être approximé par une forme simple
Etablire l'équation de Schrödinger dans les différentes régions du potentiel
Les séries n°4:
I- Si le commutateur de deux opérateurs commute avec chacun d’eux:[A,[A,B]]= [B,[A,B]]= 0,
on a l’identité de Glauber:
Pour cela, nous allons procéder par étapes.
a- Montrer que [B, A n ] = nA n−1[ ]B, A .
En déduire que [B, e −Ax ] = −xe −Ax[ ]B, A où x est un paramètre.
b- Considérer l’opérateur dépendant du paramètre x : f(x) = e AxeBx
Déterminer l’expression de
en fonction de A, B, [A,B] et f(x). En déduire l’identité de Glauber.
II- Soient deux quantités physiques décrites par les opérateurs hermitiques A et B.
a- En écrivant le commutateur de A et B sous la forme :
[A,B]= iC
Montrer que C est un opérateur hermitique.
b- Démontrer la relation d’incertitude d’Heisenberg sur ce deux observables:
Indication: Considérer le vecteur |ϕ>= (A+iλB) |ψ> et écrire que le carré de sa norme est
positif ou nul.
III- Dans plusieurs problèmes de mécanique quantique, l’espace des états n’a que deux
dimensions. C’est le cas par exemple pour le spin de l’électron. De même, quand les deux
premiers niveaux d’un système quantique sont proches en énergie et bien séparés des
niveaux supérieurs, on peut le traiter comme un système à deux niveaux.
Dans cet exercice, on considère donc un espace de Hilbert à 2 dimensions auquel on
associe une base constituée de deux états propres qu’on notera |ϕ0> et |ϕ1>.
a- Dans cette base, l’hamiltonien H s’exprime sous forme d’une matrice 2 X 2.
Où W a la dimension d’une énergie et représente ce qu’on appelle un couplage.
Déterminer les valeurs propres E+ et E- de H.
b- exprimer les vecteurs propres |ψ+> et |ψ−> en fonction de |ϕ0> et |ϕ1>.
c- A l’instant t=0, l’état du système est |ψ(0)>= |ϕ0>.
Exprimer |ψ(0)> dans la base des vecteurs propres.
d- Résoudre l’équation de Schrödinger dans la base des vecteurs propres en tenant compte
de la condition initiale.
e- Montrer que la valeur moyenne de H est indépendante du temps.
f- Montrer que la probabilité de trouver le système à l’instant t dans l’état |ϕ1> est une
fonction oscillante du temps à la fréquence
g- Reprendre le calcul avec
Montrer que la fréquence des oscillations est égale à
+ et leur amplitude à
IV- Dans un espace vectoriel à deux dimensions, on considère l’opérateur A dont la matrice,
dans une base orthonormée {|1>, |2>}, s’écrit :
1- A est-il hermitique?
2- Calculer ses valeurs propres et ses vecteurs propres qu’on notera |ψ1> et |ψ2>.
(On donnera leur développement normalisé dans {|1>, |2>})
3- Vérifier que A est une observable.
4- Exprimer A dans la base {|ψ1>,|ψ2>}
V- On considère un système physique dont l’espace des états est à trois dimensions,
rapporté à une base orthonormée {|1>,|2>, |3>}.
Dans la base de ces trois vecteurs, l’opérateur hamiltonien H du système et l’observable B
s’écrivent :
Où ω et b sont des constants réelles positives.
1- H et B sont-ils hermitiques?
2- Montrer que H et B commutent. Donner une base de vecteurs propres communs à H et B.
3- Parmi les ensembles d’opérateurs : {H}, {B}, {H,B}, {H2,B} lesquels forment un E.C.OC. ?
Exercices complémentaires:
I- Montrer que [A,BC]= [A,B] C+ B [A,C]
Développer [A,Bn] en fonction de [A,B]
Cas où [A,[A,B]]= 0
Cas particulier : A= X et B= Px
II-
a- Les fonctions d’une base continue appelée base de Fourier (ou encore base des ondes
planes) sont données par:
P étant la quantité de mouvement.
Montrer les relations d’orthonormalisation et de fermeture (R.O. et R.F.).
b- Même question pour la base de Dirac Vα (x) = Vy(x) = δ(y − x)
III- Soit ξ3 un espace des états à 3 dimensions.
Soit {|1>,|2>,|3>} une base discrète orthonormée et complète dans ξ3.
1- Donner R.O. et R.F.
2- Soit un état physique noté |ψ> tel que :
|ψ>= a1 |1>+a2 |2>+a3 |3>
Chercher les ai pour que |ψ> soit normé et que a1, a2 et a3 forment une suite géométrique de
raison 2.
3- déterminer l’opérateur de projection Pψ et montrer qu’il est bien hermitique.
IV- Soit une observable représentée, dans la base {|+>Z,|->Z}, par la matrice :
S Z = 2h σ Z = 2h
1- Quels sont les valeurs et les vecteurs propres de SZ.
2- Dans la base {|+>Z,|->Z}, on définit les opérateurs Sx et Sy:
S x = 2h σ x = 2h 1001 S Y = 2h σ Y = 2h
a- Sx et Sy sont-ils hermitiques?
b- Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de Sx et Sy.
c- Calculer [Sx,Sy], [Sy,Sz] et [Sz,Sx].
d- On définit S2 par : S 2 = S 2x + S 2y + S 2z
Calculer [S2,Sz]. Conclure
Remarque: les matrices σx, σy et σz sont appelées matrices de Pauli.
Exercices en version anglaise
on considère un système quantique dont l'espace des états, qui est à deux dimensions, est rapporté à la base orthonormée formée par les kets |U1> et |U2>.Dans la base de ces deux vecteurs,les opérateurs A et B sont définies par:
etablir les relations d'orthonormalisation et de fermeture de la base {|U1>,|U2>}
calculer le commutateur [A,B]. Si A et B commutent, donnenr alors une base orthonormée de vecteurs propres communs à A et B
Le système physique est à l'instant t=0 dans l'état:
calculer l'opérateur projecteur Pψ sur le ket |ψ>
calculer et
on considère un système physique dont l'espace des états, qui est à trois dimensions ,est rapporté à la base orthonormée {|φ1>,|φ2>,|φ3>}. dans la base de ces trois vecteurs,l'opérateur hamiltonien H du système et l'opérateur A s'écrivent:
donner la matrice représentant l'opérateur B dans {|φi>;i=1,2,3}
donner la définition d'un opérateur hérmitique et d'une observable
Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de H.Déterminer les sous-espace propres associés aux valeur propres de H.
calculer le commutateur de H et A,Trouver une base orthonormée de vecteurs propres communs à H et A.
Parmi les ensembles suivants d'opérateurs,lesquels forment un E.C.O.C:{H},{A},{H,A},{H^2,A}
calculer le commutateur entre H et B.L'ensemble {H,B} forme-il un E.C.O.C
on appelle trace d'un opérateur,la somme de ses éléments diagonaux.
montrer que Tr A est indépendante de la base choisie
M est-il hermitique ? Calculer ses valeurs propres et ses vecteurs propres (on donnera leur développement normalisé sur la base)
calculer les matrices représentant les projecteurs sur ses vecteurs propres
vérifier alors que ceux-ci satisfont à des relations d'orthogonalité et de fermeture
même question pour Ly
soit H l(opérateur hamiltonien d'un système physique, on désigne par |φn> les vecteurs propres de H, de valeurs propres En: H|φn>=En|φn>
rappeler les relations de fermeture et d'orthonormalisation des bases {|r>} et {|p>} rapportées à une dimension de l'espace (que l'on notera{|x>} et {|px>})
quelle est la relation entre ϕ(x) et les coefficients du développement dans la représentation {|x>} de l'état |ϕ>, même question pour la transformée de Fourier de ϕ(x),dans le représentation {|px>}
en utilisant la relation de fermeture de la représentation {|x>} que nous avons la relation
effectuer les intégrales des relations précédentes dans le cas du potentiel
Ecrire l'équation de Schrödinger des états stationnaires du système physique en représentation {|p>} dans le cas du potentiel V(x) défini précédemment
exprimer ϕ bar (p) en terme de ϕ(0) à partir de la question 5
calculer ϕ(x) ,la norme.calculer l'énergie E de l'état lié
l'état quantique de ce système est donnée par
1-Montrer que le vecteur d'état |ψ> est normé à l'unité
calculer l'opérateur projecteur Pψ sur le ket |ψ>
Montrer que l'opérateur Pψ est une observable
pour quelle condition les observables A et Pψ commutent
